アンケートだけで卒論・修論を乗り切るためのエクセルで相関係数の差を検定する方法
アンケートだけで卒論・修論を乗り切る統計シリーズ．
記事のシリーズには，現在，
■アンケートだけで卒論・修論を乗り切るためのエクセルｔ検定
■アンケートだけで卒論・修論を乗り切るためのエクセルχ二乗検定
■アンケートだけで卒論・修論を乗り切るためのエクセル相関関係
があります．
卒論や修論のテーマを頑張って考えてみたけど，ぜんぜん思いつかない．
そのまま時は過ぎ，気がつけば論文を書き始めなきゃいけないボーダーラインまで来てしまった，という学生のためのシリーズとなっています．
目次はこちら
（１）対応のないデータによる相関係数の差の検定
今回お示ししているデータの元になっているエクセル・ファイルが欲しい人は，
このリンク先→「統計記事のエクセルのファイル」から，
「相関関係について」
「その他・目的別」
のところにある該当するファイルをダウンロードしてご確認ください．
なんと言っても，使い勝手の良い分析方法である「相関関係」をいじり回せるという強みがあります。
相関関係というのは、以下のようなAとかBのグラフです．見たことがある学生も多いでしょう．
横軸と縦軸の関係性を示すことで，「Ｘが大きくなれば，Ｙも大きくなる」といったシンプルな主張を展開することができ，考察が比較的簡単です．
しかも，このグラフは情報量が少ない割に紙面の縦幅をとります．
ですので，ページ数が稼ぎやすくなります．
とりあえず早く卒論を提出して楽になりたい学生にとっては，強い味方です．
「気分が乗ってきたから，もうちょっと分析を深めたい」とか，指導教員から「こっちよりもこっちの方が相関係数が強い／弱いだけじゃなく，明確に差があるかどうか分析しなさい」と言われた場合，どうすればいいのか？
今回の記事は，相関関係の分析について知っていることが前提になります．
もし相関関係についての知識が怪しい場合は，あらかじめ，
■アンケートだけで卒論・修論を乗り切るためのエクセル相関関係
を読んでおいてください．
例えば，上記のAとBのグラフは，どちらもｐ値が0.05未満です．
しかし，どう見てもAの方がBよりも「相関関係がより強くある」ようです．
これを示すためにはどうすればいいのでしょうか？
まず，以下のようなデータの場合からご紹介します．
これは，「給料と幸福度」の関係性をアンケートしたものと考えてください．
それを男性と女性とで分けられるようにしています．
給料と幸福度の関係性をみるため，グラフで相関関係を見てみると以下のようになりました．
見るからに相関関係が確認できますし，相関係数も「ｒ= 0.76」ということも分かりました．
そこで今度は，この相関関係を「性別」で見ることにしました．
それがこちらです．
すると，女性は相関関係が弱いのに対し，男性はかなり強めになっています．
相関係数を算出してみると，
女性は「r = 0.534」，
男性は「r = 0.894」でした．
しかし，いずれも相関係数のｐ値は0.05未満であり，有意です．
つまり，どちらも「給料と幸福度には相関関係が認められる」ということになります．
そうは言っても，見るからに「男性の方が，女性よりも給料と幸福度の関係性が強い」ようですので，そのように言いたいところです．
それを統計学的に支持するには「相関係数の差の検定」を行います．
算出方法は以下の通りです．
なお，ここで紹介しているデータのことを「対応のないデータ」と言います．
詳細は後述する「対応のあるデータ」の検定の説明と合わせてご覧ください．
まず，さっきのデータを元にして，N数（調査した人数）とｒ値（相関係数）を算出し，次に「Z値」を出します．
その計算の様子がこちらです．
F列のところに男女のN数（15名ずつ），G列に男女別で相関係数を出しました．
その値を使い，Z値を出します．
女性のZ値を，H列2行目に出しています．
算出する式は，
=(1/2*LN((1+G2)/(1-G2)))
です．
同じようにして，男性の方も算出しました．
H列3行目に入れていますので，
=(1/2*LN((1+G3)/(1-G3)))
です．
その後，N数（調査した人数）と，Zを使ってもう一つのZを作ります．
算出式は，F列5行目に，
=ABS((H2-H3)/SQRT(((1/(F2-3))+1/(F3-3))))
を入れています．
最後に，このZの有意性をみるために，NORMSDISTの関数を使ってｐ値を求めます．
算出式は，
=2-(NORMSDIST(F5))*2
です．
全部まとめたものを以下にお示しします．
ｐ値は「 0.038 」でした．
つまり，統計学的に有意と言える「0.05未満」です．
これで，自信を持って，
「男性は女性よりも【給料と幸福度】の関係性が強い」
と主張することができます．
エクセルにまとめると，このようになります．
ここでは授業の成績を調査したものと考えてください．
専門科目，国語科目，数学科目の３つの成績（点数）をデータとして使っています．
これを，それぞれの成績に相関関係があるか調べようというものです．
実際には，以下のような散布図になります．
相関係数を算出すると，
専門と国語には「p = 0.86」，
専門と数学には「p = 0.57」であり，
いずれも有意な相関関係が認められました．
つまり，専門科目の成績は，国語と数学の成績と相関関係にあると言えるのです．
しかし，もっと言えば「専門科目の成績は，数学よりも国語の成績が強く影響しているようだ」とも言えるように思います．
その点を分析しようというのが，今回の検定です．
このようなデータは「同じ対象者のデータから算出された相関係数を比較する」ことになるので，前掲してきた「男女別で算出した相関係数」とは異なる性質があります．
これを「対応のあるデータ」と呼びます．
算出方法は以下の通りです．
まず用意するのが，N数（調査した人数）と，お互いの相関係数です．
注意してほしいのが，今回の場合は「専門科目と他２つ」の相関係数を調べたいのですが，「他２つ（つまり国語と数学）」同士の相関係数も算出しておくことです．
G列のところに，それぞれ算出しました．
次に，算出に必要な自由度と行列式を用意します．
自由度は，「N数 − ３」です．
今回は20人ですので，「１７」になります．
行列式は，それぞれの相関係数から求めます．
G列7行目に，
=(1-G2^2-G3^2-G4^2)+2*G2*G3*G4
と入れています．
次はその行列式とN数，各相関係数を使って「ｔ値」を出します．
画像では算出式が入り切らないので省略しました．
以下のような式です．G列8行目に，
=ABS(G2-G3)*SQRT((G1-1)*(1+G4))/SQRT(2*G7*(G1-1)/(G1-3)+(G2+G3)^2*(1-G4)^3/4)
と入れています．
ｔ値が出れば，そこから「TDIST」関数によってｐ値が算出できます．
G列9行目のところに，ｔ値と自由度，あと最後に「２」を指定してｐ値を出します．
=TDIST(G8,G6,2)
最後にすべての状態をお示しします．
このように，ｐ値は「0.0418」ですから，
専門と国語の「p = 0.86」と，
専門と数学の「p = 0.57」には，
有意な差が認められました．
そのような先行研究の中には，項目間で相関関係を分析し，その相関係数（ｒ値）を出しているものもあるでしょう．
この先行研究で提示されている相関係数と，今回調査したデータによる相関係数を比較したい場合もあります．
その場合はどうするのでしょうか？
たとえば．最初に示した「給料と幸福度の相関係数」について，先行研究でも同じものがあったとします．
これを分析してみましょう．
仮に，他の論文で示されている相関係数が「r = 0.537」だったとします．
以下のように，それをE列とG列の２行目に書き込みました．
そして，今回のデータは３行目に入れています．ここでは男女合わせた30名のデータで，相関係数は「r = 0.756」として分析しています．
必要なのは，今回のデータのN数だけです．
今回の相関係数と比べたい相関係数にはN数はいりません．
まず，Zを算出します．
H列2行目に，
=(1/2*LN((1+G2)/(1-G2)))
を入れます．
これを今回のデータによる相関係数でも同じように算出して，両者からZを算出します．
今回のデータによるN数のみになりますので，この部分が以前とは異なります．
F列5行目のところに，
=ABS(SQRT(F3-3)*(H2-H3))
を入れて算出しましょう．
最後に，このZからｐ値を出します．
やり方は以前と一緒です．
=2-(NORMSDIST(F5))*2
算出結果がこちらです．
0.05未満ですので，有意になります．
これにより，
「今回調査した人たちは，他の論文や調査で対象とした人たちと比べて，【給料と幸福度の関係性が強い】ようだ」
と解釈することができるようになります．
今回紹介した手法は，
で詳しく解説しています．こちらもどうぞ．
もっと詳しく知っておきたい人や，用語がよく分からなくて困った人，もうちょっと高度なことがしたいという人は，以下の書籍を買ったり図書館で見つけて読んでください．
手計算で算出するのが面倒な人は，思い切ってエクセル統計の購入をオススメします．
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があります．
卒論や修論のテーマを頑張って考えてみたけど，ぜんぜん思いつかない．
そのまま時は過ぎ，気がつけば論文を書き始めなきゃいけないボーダーラインまで来てしまった，という学生のためのシリーズとなっています．
目次はこちら
（１）対応のないデータによる相関係数の差の検定
（２）対応のあるデータによる相関係数の差の検定
（３）基準となる相関係数との差を検定する
今回お示ししているデータの元になっているエクセル・ファイルが欲しい人は，
このリンク先→「統計記事のエクセルのファイル」から，
「相関関係について」
「その他・目的別」
のところにある該当するファイルをダウンロードしてご確認ください．
（０）アンケート調査における相関係数の差を知りたいケース
処理方法が知りたいだけの人は，（１）対応のないデータによる相関係数の差の検定 まで飛ばしてください．なんと言っても，使い勝手の良い分析方法である「相関関係」をいじり回せるという強みがあります。
相関関係というのは、以下のようなAとかBのグラフです．見たことがある学生も多いでしょう．
横軸と縦軸の関係性を示すことで，「Ｘが大きくなれば，Ｙも大きくなる」といったシンプルな主張を展開することができ，考察が比較的簡単です．
しかも，このグラフは情報量が少ない割に紙面の縦幅をとります．
ですので，ページ数が稼ぎやすくなります．
とりあえず早く卒論を提出して楽になりたい学生にとっては，強い味方です．
「気分が乗ってきたから，もうちょっと分析を深めたい」とか，指導教員から「こっちよりもこっちの方が相関係数が強い／弱いだけじゃなく，明確に差があるかどうか分析しなさい」と言われた場合，どうすればいいのか？
今回の記事は，相関関係の分析について知っていることが前提になります．
もし相関関係についての知識が怪しい場合は，あらかじめ，
■アンケートだけで卒論・修論を乗り切るためのエクセル相関関係
を読んでおいてください．
例えば，上記のAとBのグラフは，どちらもｐ値が0.05未満です．
しかし，どう見てもAの方がBよりも「相関関係がより強くある」ようです．
これを示すためにはどうすればいいのでしょうか？
（１）対応のないデータによる相関係数の差の検定
相関係数（ｒ値）の差を検定する方法には，いくつかあります．まず，以下のようなデータの場合からご紹介します．
これは，「給料と幸福度」の関係性をアンケートしたものと考えてください．
それを男性と女性とで分けられるようにしています．
給料と幸福度の関係性をみるため，グラフで相関関係を見てみると以下のようになりました．
そこで今度は，この相関関係を「性別」で見ることにしました．
それがこちらです．
すると，女性は相関関係が弱いのに対し，男性はかなり強めになっています．
相関係数を算出してみると，
女性は「r = 0.534」，
男性は「r = 0.894」でした．
しかし，いずれも相関係数のｐ値は0.05未満であり，有意です．
つまり，どちらも「給料と幸福度には相関関係が認められる」ということになります．
そうは言っても，見るからに「男性の方が，女性よりも給料と幸福度の関係性が強い」ようですので，そのように言いたいところです．
それを統計学的に支持するには「相関係数の差の検定」を行います．
算出方法は以下の通りです．
なお，ここで紹介しているデータのことを「対応のないデータ」と言います．
詳細は後述する「対応のあるデータ」の検定の説明と合わせてご覧ください．
まず，さっきのデータを元にして，N数（調査した人数）とｒ値（相関係数）を算出し，次に「Z値」を出します．
その計算の様子がこちらです．
F列のところに男女のN数（15名ずつ），G列に男女別で相関係数を出しました．
その値を使い，Z値を出します．
女性のZ値を，H列2行目に出しています．
算出する式は，
=(1/2*LN((1+G2)/(1-G2)))
です．
同じようにして，男性の方も算出しました．
H列3行目に入れていますので，
=(1/2*LN((1+G3)/(1-G3)))
です．
その後，N数（調査した人数）と，Zを使ってもう一つのZを作ります．
=ABS((H2-H3)/SQRT(((1/(F2-3))+1/(F3-3))))
を入れています．
最後に，このZの有意性をみるために，NORMSDISTの関数を使ってｐ値を求めます．
算出式は，
=2-(NORMSDIST(F5))*2
です．
全部まとめたものを以下にお示しします．
ｐ値は「 0.038 」でした．
つまり，統計学的に有意と言える「0.05未満」です．
これで，自信を持って，
「男性は女性よりも【給料と幸福度】の関係性が強い」
と主張することができます．
（２）対応のあるデータによる相関係数の差の検定
前述してきた「対応のないデータ」に対し，「対応のあるデータ」というのは以下のようなものです．エクセルにまとめると，このようになります．
ここでは授業の成績を調査したものと考えてください．
専門科目，国語科目，数学科目の３つの成績（点数）をデータとして使っています．
これを，それぞれの成績に相関関係があるか調べようというものです．
実際には，以下のような散布図になります．
相関係数を算出すると，
専門と国語には「p = 0.86」，
専門と数学には「p = 0.57」であり，
いずれも有意な相関関係が認められました．
つまり，専門科目の成績は，国語と数学の成績と相関関係にあると言えるのです．
しかし，もっと言えば「専門科目の成績は，数学よりも国語の成績が強く影響しているようだ」とも言えるように思います．
その点を分析しようというのが，今回の検定です．
このようなデータは「同じ対象者のデータから算出された相関係数を比較する」ことになるので，前掲してきた「男女別で算出した相関係数」とは異なる性質があります．
これを「対応のあるデータ」と呼びます．
算出方法は以下の通りです．
まず用意するのが，N数（調査した人数）と，お互いの相関係数です．
注意してほしいのが，今回の場合は「専門科目と他２つ」の相関係数を調べたいのですが，「他２つ（つまり国語と数学）」同士の相関係数も算出しておくことです．
G列のところに，それぞれ算出しました．
次に，算出に必要な自由度と行列式を用意します．
自由度は，「N数 − ３」です．
今回は20人ですので，「１７」になります．
行列式は，それぞれの相関係数から求めます．
G列7行目に，
=(1-G2^2-G3^2-G4^2)+2*G2*G3*G4
と入れています．
次はその行列式とN数，各相関係数を使って「ｔ値」を出します．
画像では算出式が入り切らないので省略しました．
以下のような式です．G列8行目に，
=ABS(G2-G3)*SQRT((G1-1)*(1+G4))/SQRT(2*G7*(G1-1)/(G1-3)+(G2+G3)^2*(1-G4)^3/4)
と入れています．
ｔ値が出れば，そこから「TDIST」関数によってｐ値が算出できます．
=TDIST(G8,G6,2)
最後にすべての状態をお示しします．
このように，ｐ値は「0.0418」ですから，
専門と国語の「p = 0.86」と，
専門と数学の「p = 0.57」には，
有意な差が認められました．
（３）基準となる相関係数との差を検定する
先行研究を基にして，同じようなアンケート調査をする卒論のパターンは多いものです．そのような先行研究の中には，項目間で相関関係を分析し，その相関係数（ｒ値）を出しているものもあるでしょう．
この先行研究で提示されている相関係数と，今回調査したデータによる相関係数を比較したい場合もあります．
その場合はどうするのでしょうか？
たとえば．最初に示した「給料と幸福度の相関係数」について，先行研究でも同じものがあったとします．
これを分析してみましょう．
仮に，他の論文で示されている相関係数が「r = 0.537」だったとします．
以下のように，それをE列とG列の２行目に書き込みました．
そして，今回のデータは３行目に入れています．ここでは男女合わせた30名のデータで，相関係数は「r = 0.756」として分析しています．
必要なのは，今回のデータのN数だけです．
今回の相関係数と比べたい相関係数にはN数はいりません．
まず，Zを算出します．
=(1/2*LN((1+G2)/(1-G2)))
を入れます．
これを今回のデータによる相関係数でも同じように算出して，両者からZを算出します．
今回のデータによるN数のみになりますので，この部分が以前とは異なります．
=ABS(SQRT(F3-3)*(H2-H3))
を入れて算出しましょう．
最後に，このZからｐ値を出します．
やり方は以前と一緒です．
=2-(NORMSDIST(F5))*2
算出結果がこちらです．
0.05未満ですので，有意になります．
これにより，
「今回調査した人たちは，他の論文や調査で対象とした人たちと比べて，【給料と幸福度の関係性が強い】ようだ」
と解釈することができるようになります．
今回紹介した手法は，
で詳しく解説しています．こちらもどうぞ．
もっと詳しく知っておきたい人や，用語がよく分からなくて困った人，もうちょっと高度なことがしたいという人は，以下の書籍を買ったり図書館で見つけて読んでください．
手計算で算出するのが面倒な人は，思い切ってエクセル統計の購入をオススメします．
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